均方差公式推导

　　什么是方差？

　　方差和标准差是衡量数据变异程度最重要、最常用的指标。

　　方差是各数据及其算术平均的方差平方和的平均值，通常用2表示。 由于方差的度量单位和维数不方便从经济意义上解释，在实际统计工作中多采用方差的算术平方根标准差来衡量统计数据的差异程度。

　　标准偏差也称为均方差，用表示。 方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，总体数据和样本数据的公式略有不同。

　　方差计算公式

　　假设总体方差为2，则对于未分组的原始数据，方差的计算公式为：

　　

　　对于分组数据，方差的计算方法如下：

　　

　　方差的平方根是标准偏差，对应的计算公式如下：

　　未分组数据：

　　

　　分组数据：

　　

　　样本方差和标准差

　　样本方差和总体方差在计算上的区别在于总体方差按数据个数或总频数去除方差平方和，而样本方差按样本数据个数或总频数减去1去除方差平方和，其中样本数据个数减去1的n-1称为自由度。 分散样本

　　

　　中选择所需的族。 根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为

　　未分组数据：

　　

　　分组数据：

　　

　　未分组数据：

　　

　　分组数据：

　　

　　例：考察机器生产能力，采用抽样程序检验生产的产品质量，假设收集到的数据如下

　　根据该行业通用定律，如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则机器必须处于等待修复状态。 这个时候的机器必须关机吗？

　　解：根据已知数据计算

　　

　　

　　因此，这台机器运转正常。

　　方差和标准差也是基于所有数据计算的，每个数据与其平均值相比平均反映不同的值，因此可以准确反映数据的离散度。 方差和标准差实际上是应用最广泛的离散程度测度值。

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